-

第306章

非線性偏微分方程組降維問題

雖然常浩南的獲獎讓學校多了不少宣傳口的工作要做，但唐林天自然也不會忘了前幾天答應的事情。

冇花幾天功夫，學校裡接的外網就已經可以訪問那幾個比較主流的學術數據庫了。

常浩南從大概半年前，剛開始認真考慮編寫一個全新的模擬建模軟件時就非常清楚地意識到，多物理場，尤其是強耦合多物理場問題的研究，本質上是對非線性偏微分方程組的求解。

但這種事情，落實到工程領域的操作上，往往就不是一句話那麼簡單了。

尤其是考慮到現如今的超級計算機運算速度並不樂觀的情況下。

絕大多數偏微分方程都冇有辦法求得解析解，至少短時間內，隻能從數值解的方向下功夫。

很多在數學上十分具有美感的解法未必實用。

傳統上對於非線性偏微分方程動態係統的降維主要采用基於變量離散的方法，典型的比如有限元法，有限體積法和有限差分法，堪稱這一領域的禦三家。

但也不是冇有其它的思路。

就比如常浩南某天晚上在機房休息時，無意中看到的這篇論文。

儘管是應用數學領域的文章，但卻發在了一份看上去毫無關係的化學工程領域期刊上。

Chemical

Engineering

Journal

一份在十幾年後算是聲名赫赫，但這功夫隻是剛剛創刊，並不起眼的雜誌。

之所以會吸引他點進去，並用每秒幾Kb的速度下載下來，主要是因為摘要寫得太有吸引力了。

“目前通用的有限差分法和有限元方法對非線性偏微分方程動態係統進行降維隻能得到維數很高的常微分方程係統，在近四十年的時間裡，基於變量分離的係統降維方法得到了飛速發展，在滿足一定的條件下能避免基於空間離散方法帶來的一些本質問題，將一類非線性偏微分方程動態係統降至較低的維數，便於快速分析計算、優化及主動控製器的實現，可以應用於對化學工程領域內常見的力熱耦合問題進行數值分析……”

儘管涉及到的具體問題和飛行器設計風馬牛不相及，但裡麵提到的力熱耦合本來也是常浩南目前麵對的最基礎，也是最緊迫的問題。

這段摘要簡直說到了他的心坎裡。

他相信幾個月之前，當盧育英在蓉城第一次看到自己那篇論文的時候，內心的通透感也就不外乎如此。

幾分鐘的下載時間從未如同現在這般漫長。

常浩南緊盯著螢幕上麵一格一格的進度條，幾乎在下載完成的一瞬間就點開了那份文檔。

“眾所周知，任何一個連續函數能被傅裡葉級數序列的展開式近似表示，基於上述原理，非線性偏微分方程中的時空親和變量，能夠展開成一個無限維空間基函數集合和其對應的時間係數的級數和的形式：

X(z，t)=(i=1，∞)∑φi(z)xi(t)

其中xi(t)表示每個基函數φi(z)對應的時間係數……”

確實很基礎。

時空變量分離技術並不是什麼新鮮玩意，任何一本數學物理方法或者類似的教材上都能找到，隻是一般認為適合使用分離變量法的偏微分方程應該具有一定的形式和特征，如線性、齊次、可分離、係數隻依賴於一個變量等等，這極大地限製了此類方法的應用。

因此常浩南迅速略過了這部分內容，直接看向了第三節，往往也是正文的第一節：

為了詳細和清楚地闡述非線性偏微分方程動態係統降維的方法，本小節釆用拋物型非線性偏微分方程係統作為對象進行闡述……

“來了！”

看到感興趣內容的他精神一振，就連剛剛的些許睏意都瞬間煙消雲散。

邊界條件和初始條件分彆為：

其中x(z，t)表示時空狀態變量，且為定義在空間區域[a，b]上的無窮維希爾伯特空間上的連續函數。表示空間座標，z∈[a，b]表示空間座標，為過程定義的實數域上的子空間，t∈[0，∞）表示時間變量……

……

最終，可以得到希爾伯特空間H（[a，b]）中上述非線性偏微分方程係統的表達形式：

x(z，t)/t=Ax(z，t) Bu(z，t) (x，z，t)

x(z，0)=x0(z)

下麵給出兩個模擬實例，分彆是一維空間的無量綱Kuramoto-Sivashinsky方程，以及非等溫管狀反應器的溫度與壓力場……

“嗯……有點東西……”

-